看到二进制序列可以用各种非数字方式解释，让我们将注意力转向数字。具体来说，我们将从无符号数字开始，这些数字可以解释为零或正数，但它们永远不能为负数（它们没有 符号）。

4.1.1. 小数

我们先不从二进制开始，而是先检查一下我们已经习惯使用的数字系统，即十进制数字系统，它使用 base 为 10。Base 10 意味着解释和表示十进制值的两个重要属性。

  1. 以 10 为基数的数字中的任何单个数字都存储 10 个唯一值 (0-9) 之一。要存储大于 9 的值，该值必须进位 到左侧的附加数字。例如，如果一位数字从最大值 (9) 开始，我们加 1，则结果需要两位数字 (9 + 1 = 10)。相同的模式适用于任何数字，无论其在数字中的位置如何（例如，5080 + 20 = 5100）。
  2. 数字中每个数字的位置决定了该数字对于数字总价值的重要性。将从右到左的数字标记为 d0、d1、d2 等，每个连续的数字比下一个数字贡献 十 倍。例如，取值 8425（图 1）。

For the number 8425, digit 0 is the 5, which is in the "ones place". Digit 1 is the 2, which is in the "tens place". Digit 2 is the 4, in the "hundreds place". Finally, digit 3 is the 8, in the "thousands place".

图 1. 以 10 为基数的数字中每个数字的重要性，使用您在小学时可能给每个数字起的名称。

对于示例值 8425，“个位”中的 5 贡献 5 (5 × 100)。 “十位”的 2 贡献 20 (2 × 101)。 “百位”中的 4 贡献了 400 (4 × 102)，最后，“千位”中的 8 贡献了 8000 (8 × 103)。更正式地说，可以将 8425 表示为

(8 × 103)    +    (4 × 102)    +    (2 × 101)    +    (5 × 100)

这种以 10 为底的指数递增模式就是它被称为 base 10 数字系统的原因。将位置编号分配给从右到左从 d0 开始的数字意味着每个数字 di 为总价值贡献 10i 。因此，任何 N 位十进制数的总值可以表示为：

(dN-1 × 10N-1)  + (dN-2 × 10N-2) + …​ + (d2 × 102) + (d1 × 101) + (d0 × 100)

幸运的是，正如我们很快就会看到的，非常相似的模式也适用于其他数字系统。

区分不同进制数基

在我们即将引入第二个数字系统，一个潜在的问题是如何解释数字缺乏清晰度。例如，考虑值 1000。是否应该将该数字解释为十进制值（即 1000）还是二进制值（即 8，原因很快就会解释），这一点并不是很明显。为了帮助澄清，本章的其余部分将明确为所有非十进制数字附加一个前缀。我们很快将介绍二进制（前缀为 0b）和十六进制（使用前缀 0x）。

因此，如果您看到 1000，您应该假设它是十进制“一千”，如果您看到 0b1000，您应该将其解释为二进制数，在本例中为值“八”。

4.1.2. 无符号二进制数

虽然您可能从未考虑过将十进制数描述为 10 的幂的具体公式，但 { 个位, 十位, 百位, 等. } 位的概念应该会让您感到熟悉。幸运的是，类似的术语适用于其他数字系统，例如二进制。当然，其他数字系统中的基数不同，因此每个数字位置对其数值的贡献量不同。

二进制数字系统使用基数 2，而不是十进制的 10。以与我们刚才对十进制相同的方式进行分析，可以发现几个相似之处（用 2 代替 10）：

  1. 以 2 为基数的数字中的任何单个位都存储两个唯一值（0 或 1）之一。要存储大于 1 的值，二进制编码必须进位 到左侧的附加位。例如，如果一位从最大值 (1) 开始，并且我们向其加 1，则结果需要两位 (1 + 1 = 0b10)。相同的模式适用于任何位，无论其在数字中的位置如何（例如，0b100100 + 0b100 = 0b101000）。
  2. 数字中每一位的位置决定了该位对于数字的数值的重要性。将从右到左的数字标记为 d0、d1、d2 等，每个连续位的贡献比下一位多 两倍 。

第一点意味着二进制计数遵循与十进制相同的模式：通过简单地枚举值并添加数字（位）。由于本节重点介绍_无符号_数字（仅零和正数），因此很自然地从零开始计数。 表 1 显示了如何计算二进制中的前几个自然数。从表中可以看出，以二进制计数很快就会增加位数。直观上，这种增长是有道理的，因为每个二进制数字（两个可能的值）代表的信息少于十进制数字（10 个可能的值）。

表 1. 二进制与十进制计数的比较

Binary valueDecimal value
00
11
102
113
1004
1015
…​…​

关于标记数字的第二点看起来非常熟悉！事实上，它与十进制非常相似，以至于可以得出几乎相同的解释二进制数的公式。只需将每个指数底部的 10 替换为 2：

(dN-1 × 2N-1) +  (dN-2 × 2N-2) +  …​ +  (d2 × 22) + (d1 × 21) + (d0 × 20)

应用此公式会产生任何二进制数的 无符号 解释。例如，取 0b1000：

(1 × 23) + (0 × 22) + (0 × 21) + (0 × 20)

  =    8 + 0 + 0 + 0    =    8

这是一个更长的单字节示例，0b10110100：

(1 × 27) + (0 × 26) + (1 × 25) + (1 × 24) + (0 × 23) + (1 × 22) + (0 × 21) + (0 × 20)

  =    128 + 0 + 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 0    =    180

4.1.3. 十六进制

到目前为止，我们已经研究了两种数字系统：十进制和二进制。十进制因其对人类的舒适性而引人注目，而二进制则与数据在硬件中存储的方式相匹配。值得注意的是，它们的表达能力是相当的。也就是说，没有任何数字可以在一个系统中表示而不能在另一个系统中表示。考虑到它们的等价性，您可能会感到惊讶，我们将讨论另一种数字系统：以 16 为基数的十六进制系统。

有了两个完美的数字系统，您可能想知道为什么我们需要另一个。答案主要是方便。如表 1 所示，二进制位序列快速增长到大量数字。人类往往很难理解仅包含 0 和 1 的长序列。尽管十进制更紧凑，但它的基数 10 与二进制的基数 2 不匹配。

十进制不容易捕获可以使用固定位数表示的范围。例如，假设一台旧计算机使用 16 位内存地址。其有效地址范围为 0b0000000000000000 到 0b1111111111111111。以十进制表示，地址范围从 0 到 65535。显然，十进制表示比长二进制序列更紧凑，但除非您记住它们的转换，否则很难推理十进制数字。在使用 32 位或 64 位地址的现代设备上，这两个问题只会变得更糟！

这些长位序列正是十六进制的 16 进制的亮点。大基数允许每个数字表示足够的信息，使十六进制数变得紧凑。此外，由于基数本身就是 2 的幂 (24 = 16)，因此很容易将十六进制映射到二进制，反之亦然。为了完整起见，我们用十进制和二进制同样的方式来分析十六进制：

  1. 16 进制数字中的任何单个数字都存储 16 个唯一值之一。超过 10 个值对十六进制提出了新的挑战——传统的 10 位数字的最大值为 9。按照惯例，十六进制使用字母来表示大于 9 的值，其中 A 代表 10，B 代表 11，最多 F 代表 15。与其他系统一样，要存储大于 15 的值，数字必须进位到左侧的附加数字。例如，如果一位数字从最大值 (F) 开始，并且我们向其加 1，则结果需要两位数字（0xF + 0x1 = 0x10；请注意，我们使用 0x 表示十六进制数字）。
  2. 数字中每个数字的位置决定了该数字对于数字的数值的重要性。将从右到左的数字标记为 d0、d1、d2 等，每个连续数字的贡献比下一个数字多 16 倍。

毫不奇怪，解释数字的相同可靠公式也适用于以 16 为基数的十六进制：

(dN-1 × 16N-1) + (dN-2 × 16N-2) + …​ + (d2 × 162) + (d1 × 161) + (d0 × 160)

例如，要确定 0x23C8 的十进制值：

 >  (2 × 163)    +    (3 × 162)    +    (C × 161)    +    (8 × 160)

  = (2 × 163)    +    (3 × 162)    +    (12 × 161)    +    (8 × 160)   =    (2 × 4096)    +    (3 × 256)    +    (12 × 16)    +    (8 × 1)   =    8192 + 768 + 192 + 8    =    9160

十六进制误解

当您第一次学习系统编程时，您可能不会经常遇到十六进制数字。事实上，您可能找到它们的唯一上下文是表示内存地址。例如，如果您使用printf的%p（指针）格式代码打印变量的地址，您将获得十六进制输出。

许多学生经常开始将内存地址（例如，C 指针变量）与十六进制等同起来。虽然您可能习惯以这种方式表示地址，但请记住 它们仍然在硬件中使用二进制存储 ，就像所有其他数据一样！

4.1.4. 存储限制

从概念上讲，无符号整数有无限多个。在实践中，出于多种原因，程序员必须在存储变量之前选择专用于变量的位数：

  • 在存储一个值之前，程序必须为其分配存储空间。在 C 中，声明变量会根据其类型告知编译器需要多少内存。
  • 硬件存储设备的容量是有限的。虽然系统的主内存通常很大并且不太可能成为限制因素，但 CPU 内用作临时“暂存空间”的存储位置（即寄存器）受到更多限制。 CPU 使用的寄存器受到字大小的限制（通常为 32 或 64 位，具体取决于 CPU 架构）。
  • 程序经常将数据从一个存储设备移动到另一存储设备（例如，在 CPU 寄存器和主存储器之间）。随着值变大，存储设备需要更多的电线来在它们之间传递信号。因此，扩展存储会增加硬件的复杂性，并为其他组件留下更少的物理空间。

用于存储整数的位数决定了其可表示值的范围。 图 2 描绘了我们如何概念化无限和有限无符号整数存储空间。

The infinite unsigned number line starts at zero and increases infinitely. The finite unsigned number line starts at 0 and ends at a maximum value. Attempting to move off one end wraps around to the other.

图 2. (a) 无限无符号数轴和 (b) 有限无符号数轴的图示。后者在任一端点“环绕”（溢出）。

尝试向变量存储比变量大小允许的更大的值称为整数溢出。本章将溢出的详细信息推迟到后面的部分。现在，可以把它想象成汽车的里程表，如果它试图增加超过其最大值，它就会“翻转”回零。同样，从零减一得到最大值。

此时，关于无符号二进制，一个自然要问的问题是“N 位可以存储的最大正值是多少？”换句话说，给定一个全 1 的 N 位序列，该序列代表什么值？非正式地推理这个问题，上一节中的分析表明，N 位产生 2N 个唯一的位序列。由于这些序列之一必须表示数字 0，因此会留下 2N - 1 个介于 1 到 2N - 1 之间的正值。因此，N 位无符号二进制数的最大值必须是 2N - 1。

例如，8 位提供 28 = 256 个唯一序列。这些序列之一 0b00000000 被保留为 0，剩下 255 个序列用于存储正值。因此，8 位变量表示 1 到 255 之间的正值，其中最大的是 255。